Hertzsche Pressung (Punktkontakt)
Berechnet die maximale Hertzsche Flächenpressung beim Punktkontakt — z. B. zwischen zwei Kugeln oder einer Kugel und einer ebenen Fläche.
Variablen-Erklärung
Hertzsche Pressung beim Punktkontakt
Wenn zwei gekrümmte Körper (z. B. zwei Kugeln oder eine Kugel auf einer Ebene) mit einer Normalkraft F aufeinandergepresst werden, bildet sich eine kleine kreisförmige Kontaktfläche mit dem Radius a. Die Druckspannung im Zentrum dieser Fläche — die Hertzsche Pressung p₀ — ist die maßgebende Größe für die Werkstoffbeanspruchung.
Formel
Die maximale Kontaktpressung ergibt sich nach Hertz zu:
p₀ = 0,578 · ∛(F · E*² / R*²)
Exakt: p₀ = (6 · F · E*² / (π³ · R*²))^(1/3). Der Faktor 0,578 ≈ (6/π³)^(1/3) ist eine gebräuchliche Näherung.
Eingangsgrößen berechnen
Reduzierter Elastizitätsmodul E*:
1/E* = (1 − ν₁²)/E₁ + (1 − ν₂²)/E₂
| Werkstoffpaarung | E* (N/mm²) |
|---|---|
| Stahl – Stahl (E = 210 000, ν = 0,3) | ≈ 115 385 |
| Stahl – Gusseisen (E₂ = 150 000, ν = 0,26) | ≈ 95 000 |
| Stahl – Aluminium (E₂ = 70 000, ν = 0,33) | ≈ 60 000 |
Reduzierter Krümmungsradius R*:
1/R* = 1/R₁ + 1/R₂
- Kugel – Ebene: R* = R₁ (da R₂ → ∞)
- Kugel – Kugel (gleich groß): R* = R/2
- Kugel innen in Kugelpfanne: 1/R* = 1/R₁ − 1/R₂ (konkav: negatives Vorzeichen)
Kontaktradius a
Die kreisförmige Kontaktfläche hat den Radius:
a = ∛(3 · F · R* / (4 · E*))
Berechnungsbeispiel
Stahlkugel (R = 10 mm) auf Stahlplatte, Kraft F = 1 000 N, Stahl–Stahl: E* = 115 385 N/mm², R* = R = 10 mm
- a = ∛(3 × 1 000 × 10 / (4 × 115 385)) ≈ 0,30 mm
- p₀ = 0,578 × ∛(1 000 × 115 385² / 10²) ≈ 3 540 N/mm²
Typische Anwendungen
- Wälzlager (Kugellager, Kegelrollenlager)
- Nocken auf Stößel
- Kugelgelenke und Gelenkpfannen
- Kugeln in Führungen
Zulässige Hertzsche Pressung
| Werkstoff / Anwendung | p₀,zul (N/mm²) |
|---|---|
| Wälzlagerstahl 100Cr6 (Kugellager) | 2 000 – 4 200 |
| Einsatzgehärteter Stahl | 1 500 – 2 500 |
| Vergütungsstahl | 800 – 1 500 |
| Grauguss GJL-250 | 400 – 700 |