Was besagt die Bernoulligleichung?

Die Bernoulligleichung beschreibt die Energieerhaltung entlang einer Stromlinie: Die Summe aus statischem Druck, dynamischem Druck (½ρv²) und hydrostatischem Druck (ρgz) ist konstant. Sie gilt für ideale, reibungsfreie, inkompressible Strömungen ohne Energiezu- oder -abfuhr.

Wann darf ich die ideale Bernoulligleichung anwenden?

Die ideale Bernoulligleichung gilt für stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömungen entlang einer Stromlinie ohne Wärme- oder Arbeitsübergabe. Bei realen Fluiden mit Reibungsverlusten ist die erweiterte Bernoulligleichung mit Verlusthöhe h_v zu verwenden.

Was ist der Unterschied zwischen statischem und dynamischem Druck?

Der statische Druck p ist der Druck, den ein ruhend mitbewegter Beobachter misst. Der dynamische Druck ½ρv² entsteht durch die Strömungsgeschwindigkeit und beschreibt die kinetische Energie der Strömung. Der Gesamtdruck ist die Summe beider Anteile plus dem hydrostatischen Druck ρgz.

Strömungsmechanik

Bernoulligleichung (ideal)

p₂ = p₁ + ½·ρ·(v₁² − v₂²) + ρ·g·(z₁ − z₂)

Berechnet den Druck p₂ am Ausströmquerschnitt. Gilt für ideale, reibungsfreie Strömung ohne Energiezu- und -abfuhr.

Druck p₁ (Punkt 1) (p1)

Fluiddichte ρ (rho)

Geschwindigkeit v₁ (Punkt 1) (v1)

Geschwindigkeit v₂ (Punkt 2) (v2)

Geodät. Höhe z₁ (Punkt 1) (z1)

Geodät. Höhe z₂ (Punkt 2) (z2)

Druck p₂:

—

Werte eingeben und berechnen

Variablen-Erklärung

p₂ = Druck am Punkt 2 (Ergebnis) in Pa

p₁ = Druck am Punkt 1 in Pa

ρ = Fluiddichte in kg/m³

v₁ = Geschwindigkeit (Punkt 1) in m/s

v₂ = Geschwindigkeit (Punkt 2) in m/s

z₁ = Geodät. Höhe (Punkt 1) in m

z₂ = Geodät. Höhe (Punkt 2) in m

g = Erdbeschleunigung (fest) in 9,81 m/s²

Bernoulligleichung bei reibungsfreier Strömung

Die Bernoulligleichung ist der wichtigste Energiesatz der Strömungsmechanik. Für ein ideales, inkompressibles Fluid ohne Reibung und ohne Energieaustausch bleibt die Gesamtenergie entlang einer Stromlinie konstant:

p₁/ρg + v₁²/2g + z₁ = p₂/ρg + v₂²/2g + z₂ = const

Umgestellt nach p₂ erhält man die hier verwendete Berechnungsformel:

p₂ = p₁ + ½·ρ·(v₁² − v₂²) + ρ·g·(z₁ − z₂)

Bernoulligleichung ideal – Rohrströmung mit zwei Querschnitten

Die drei Druckanteile

Anteil	Formel	Bedeutung
Statischer Druck	p	Druck des ruhenden Fluids; messbar an der Rohrwand
Dynamischer Druck	½·ρ·v²	Kinetische Energie der Strömung
Hydrostatischer Druck	ρ·g·z	Lageenergie; abhängig von der geodätischen Höhe

Gültigkeitsbedingungen

Stationäre Strömung (zeitlich unveränderlich)
Inkompressibles Fluid (ρ = const, typisch für Flüssigkeiten und langsame Gasströmungen)
Reibungsfrei (ideales Fluid)
Keine Energiezufuhr oder -abfuhr (kein Pumpen, keine Turbinen)
Entlang einer Stromlinie

Typische Fluiddichten

Fluid	ρ (kg/m³)
Wasser (20 °C)	998
Öl (hydraulisch)	850–900
Luft (20 °C, 1 bar)	1,20
Meerwasser	1 025

Berechnungsbeispiel

Wasser (ρ = 1 000 kg/m³) strömt von Querschnitt ① (v₁ = 2 m/s, z₁ = 0 m, p₁ = 200 000 Pa) zu Querschnitt ② (v₂ = 4 m/s, z₂ = 3 m). Gesucht: p₂.

Dynamischer Anteil: ½ × 1 000 × (4 − 16) = −6 000 Pa
Hydrostatischer Anteil: 1 000 × 9,81 × (0 − 3) = −29 430 Pa
p₂ = 200 000 − 6 000 − 29 430 = 164 570 Pa ≈ 164,6 kPa

Der Druck sinkt, weil die Strömung schneller wird und gleichzeitig höher steigt. Beide Effekte entziehen dem statischen Druck Energie.

Typische Anwendungen

Venturi-Düse und Venturi-Messung (Durchflussmessung)
Tragflügeltheorie (Auftriebskraft durch Druckdifferenz)
Pitot-Rohr (Geschwindigkeitsmessung)
Düsen und Diffusoren in Turbinen und Kompressoren
Wasserverteilung in Rohrnetzwerken (Näherung)

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