Erweiterte Bernoulligleichung mit Pumpe (Energiezufuhr)

Wenn eine Pumpe Energie in das Strömungssystem einbringt, wird die Bernoulligleichung um die Förderhöhe H_p (manometrische Druckhöhe) der Pumpe erweitert. Gleichzeitig werden Strömungsverluste über die Verlusthöhe h_v berücksichtigt:

p₁/ρg + v₁²/2g + z₁ + H_p = p₂/ρg + v₂²/2g + z₂ + h_v

Umgestellt nach p₂:

p₂ = p₁ + ½·ρ·(v₁²−v₂²) + ρ·g·(z₁−z₂) + ρ·g·H_p − ρ·g·h_v

Berechnung der erforderlichen Förderhöhe H_p

Für die Auslegung einer Pumpe ist die benötigte Förderhöhe gesucht. Umgestellt ergibt sich:

H_p = (p₂ − p₁)/(ρ·g) + (v₂² − v₁²)/(2g) + (z₂ − z₁) + h_v

Term	Bedeutung
(p₂−p₁)/(ρg)	Druckhöhenanteil (Differenzdruck)
(v₂²−v₁²)/(2g)	Geschwindigkeitshöhenanteil
z₂ − z₁	Geodätische Förderhöhe (Höhenunterschied)
hv	Verlusthöhe (Reibung, Formwiderstände)

Pumpenleistung

Die hydraulische Pumpenleistung berechnet sich aus Förderhöhe und Volumenstrom Q:

P_hyd = ρ · g · Q · H_p

Die aufgenommene Wellenleistung berücksichtigt den Pumpenwirkungsgrad η:

P_Welle = P_hyd / η

Pumpentyp	Typischer Wirkungsgrad η
Kreiselpumpe (groß)	0,80–0,92
Kreiselpumpe (klein)	0,60–0,80
Zahnradpumpe	0,70–0,90
Kolbenpumpe	0,85–0,95

Berechnungsbeispiel

Wasser (ρ = 1 000 kg/m³) wird von Behälter ① (p₁ = 100 000 Pa, v₁ = 0 m/s, z₁ = 0 m) zu Behälter ② (p₂ = ?, v₂ = 0 m/s, z₂ = 10 m) gefördert. Förderhöhe H_p = 20 m, Verlusthöhe h_v = 3 m.

• Geschwindigkeitsanteil: ½ × 1 000 × (0 − 0) = 0 Pa
• Hydrostatischer Anteil: 1 000 × 9,81 × (0 − 10) = −98 100 Pa
• Pumpenanteil: +1 000 × 9,81 × 20 = +196 200 Pa
• Verlustanteil: −1 000 × 9,81 × 3 = −29 430 Pa
• p₂ = 100 000 − 98 100 + 196 200 − 29 430 = 168 670 Pa ≈ 168,7 kPa

Typische Anwendungen

• Wasserversorgung und Druckerhöhungsanlagen
• Heizungsumwälzpumpen (geschlossene Kreisläufe)
• Kühlwasserkreisläufe in Maschinen und Anlagen
• Hydraulische Systeme mit Druckversorgung
• Abwasserhebeanlagen und Druckentwässerung