Erweiterte Bernoulligleichung bei reibungsbehafteter Strömung

Reale Fluide (Wasser, Öl, Luft) weisen Viskosität auf. Dadurch entstehen bei der Strömung durch Rohre, Krümmer und Einbauten Druckverluste, die bei der idealen Bernoulligleichung vernachlässigt werden. Die erweiterte Bernoulligleichung berücksichtigt diese Verluste durch die Druckverlusthöhe h_v:

p₁/ρg + v₁²/2g + z₁ = p₂/ρg + v₂²/2g + z₂ + h_v

Umgestellt nach p₂:

p₂ = p₁ + ½·ρ·(v₁²−v₂²) + ρ·g·(z₁−z₂) − ρ·g·h_v

Berechnung der Druckverlusthöhe h_v

Die Gesamtverlusthöhe setzt sich zusammen aus:

h_v = h_R + h_Z

Rohrreibungsverlust h_R (Darcy-Weisbach):

h_R = λ · (L/d) · v²/(2g)

Parameter	Bedeutung
λ	Rohrreibungsbeiwert (Darcy-Weisbach)
L	Rohrlänge (m)
d	Rohrdurchmesser (m)
v	Strömungsgeschwindigkeit (m/s)

Einzelwiderstände h_Z (Krümmer, Ventile, Einbauten):

h_Z = Σ ζ · v²/(2g)

Rohrreibungsbeiwert λ (Richtwerte)

Strömungsregime	λ
Laminar (Re < 2300)	λ = 64/Re
Turbulent, glatte Rohre (Re > 4000)	0,01–0,025
Turbulent, raue Rohre (Altguss)	0,03–0,06
Turbulent, Kunststoffrohr	0,01–0,02

Berechnungsbeispiel

Wasser (ρ = 1 000 kg/m³) strömt von ① (p₁ = 200 000 Pa, v₁ = 2 m/s, z₁ = 0 m) zu ② (v₂ = 4 m/s, z₂ = 3 m) mit einer Druckverlusthöhe h_v = 2 m.

• Dynamischer Anteil: ½ × 1 000 × (4 − 16) = −6 000 Pa
• Hydrostatischer Anteil: 1 000 × 9,81 × (0 − 3) = −29 430 Pa
• Verlustanteil: −1 000 × 9,81 × 2 = −19 620 Pa
• p₂ = 200 000 − 6 000 − 29 430 − 19 620 = 144 950 Pa ≈ 145 kPa

Im Vergleich zur idealen Bernoulligleichung (164 570 Pa) führen die Reibungsverluste zu einem um 19 620 Pa niedrigeren Druck an Punkt 2.

Typische Anwendungen

• Rohrnetzberechnung (Heizung, Wasserversorgung)
• Druckverlustkalkulation in Hydrauliksystemen
• Auslegung von Rohrleitungen und Armaturen
• Bestimmung des notwendigen Pumpendrucks